О неустойчивости плоской поверхности магнитной жидкости в цилиндрической полости при наличии вертикального магнитного поля

 

В.М. Коровин, А.А. Кубасов

Институт механики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, 119899 Москва, Россия

 

Рассматривается магнитная жидкость, полностью заполняющая вертикальную цилиндрическую полость в недеформируемом горизонтальном слое магнетика, не отличающегося по своим магнитным свойствам от жидкости. Вся система находится в однородном вертикальном магнитном поле. В линейной постановке получено в виде рядов приближенное решение задачи об эволюции начального малого отклонения свободной поверфхности жидкости от плоской равновесной формы. Проведенный эксперимент показывает, что при увеличении (от нуля) напряженности поля первоначально плоская свободная поверхность принимает устойчивую куполообразную форму, причем дальнейший рост поля в некотором ограниченном диапазоне приводит к образованию кольцевого гофра. Наблюдаемые структруры, являющиеся результатом нелинейной стадии развития начального возмущения, качественно сходны с первыми двумя модами полученного решения.

Введение

Неустойчивость свободной поверхности невязкой маг­нитной жидкости в достаточно сильном ортогональном магнитном поле, обнаруженная и впервые исследован­ная около тридцати лет назад [1,2], является одним из наиболее известных поверхностных явлений, присущих жидким магнетикам. Проведенные в [1] эксперимент и линейный анализ влияния вертикального магнитно­го поля на устойчивость первоначально плоской сво­бодной поверхности магнитной жидкости, занимающей нижнее полупространство, инициировали как исследо­вание этого вопроса в рамках усложненных постано­вок на базе линеаризованных уравнений феррогидро­динамики [3], так и изучение в нелинейной поста­новке процесса возникновения и перестройки (с ро­стом поля) периодической гексагональной структуры на первоначально плоской неограниченной поверхно­сти магнитной жидкости (см., например, библиографию в [2,4]).

В данной работе исследована вызываемая однород­ным вертикальным магнитным полем неустойчивость плоской свободной поверхности магнитной жидкости, заполняющей вертикальную цилиндрическую полость в горизонтальном недеформируемом слое магнетика, маг­нитная проницаемость которого равна проницаемости жидкости. В отличие от имеющихся работ при тео­ретическом анализе устойчивости приближенно учтено влияние вертикальной стенки, накладывающей на своей поверхности условие обращения в нуль нормальной составляющей скорости в процессе развития начальных возмущений, приводящем в итоге к разрушению ис­ходного гидростатического состояния жидкости с плос­кой свободной поверхностью. В линейной постановке аналитически получено приближенное решение задачи о развитии начального возмущения формы свободной

поверхности, первые две моды которого имеют каче­ственное сходство со структурами, наблюдавшимися в проведенном эксперименте.

Равновесное состояние

Рассматривается находящаяся в однородном верти­кальном магнитном поле H_¥ магнитная жидкость (рис. 1), полностью заполняющая вертикальную цилин­дрическую полость 1 радиусом а в горизонтальном слое магнетика 2 с недеформируемыми границами, магнитная проницаемость которого равна проницаемости жидко­сти m. Поверх слоя магнетика строго по границе полости расположена немагнитная вертикальная стенка 3. Снизу жидкость удерживается немагнитной пластиной 4, вплот­ную прилегающей к магнетику, а верхняя поверхность жидкости свободна. Глубина жидкости равна толщине слоя магнетика d. В том случе, когда краевой угол в, образуемый жидкостью при соприкосновении с матери­алом вертикальной границы, равен p/2, свободная по­верхность, очевидно, горизонтальна. В общем же случае за счет капиллярного подъема жидкости, смачивающей стенку, вблизи стенки имеется мениск 5.

Следуя аргументации, используемой в классической задаче Квинке [2] для обоснования пренебрежения ме­нисками вблизи двух плоских вертикальных параллель­ных друг другу магнитных полюсных наконечников, ча­стично погруженных в резервуар с магнитной жидко-стию, будем рассматривать полость достаточно большо­го радиуса, так чтобы эффект искривления свободной поверхности за счет капиллярного подъема проявлялся лишь в узкой по сравнению с а кольцевой области, примыкающей к стенке. Ввиду малости этой области в дальнейшем ею пренебрегается и принимается, что свободная поверхность жидкости плоская и лежит на одном уровне с верхней границей магнетика.

Рисунок 1.

Пользуясь решением задачи о форме свободной по­верхности жидкости, находящейся в поле тяжести и со­прикасающейся с одной стороны с вертикальной плоской стенкой [5], в случаях нетрудно записать (по порядку величины — без учета влияния мениска на распределение магнитного поля) условие применимости такого подхода

– число Бонда, а — коэффициент поверхностного натяжения, р — плотность жидкости, g — ускорение силы тяжести.

В рамках принятых допущений магнитное поле H₀ как в жидкости, так и внутри слоя магнетика однородно. Счи­тая известной функцию m = m(H), из условия непрерыв­ности нормальной составляющей индукции B₀ = mH₀ на горизонтальных границах области, занятой жидкостью и магнетиком, нетрудно выразить H₀ через Н_¥.

Введем цилиндрическую систему координат  ось z которой направлена вертикально вверх, а плоскость z = 0 совпадает со свободной поверхностью покоящейся магнитной жидкости и верхней поверхностью слоя маг­нетика. Ввиду однородности индукции силовое воздей­ствие магнитного поля на жидкость в рассматриваемом случае осуществляется лишь за за счет локализованной на поверхности раздела жидкость-воздух поверхностной пондеромоторной силы — магнитного давления по тер­минологии [2]. Пользуясь уравнением гидростатики и условием непрерывности нормального напряжения на границе раздела жидкость-воздух, получаем, как и в случае обычной жидкости, линейное изменение давления р_о с глубиной

Здесь р_а — давление воздуха вблизи свободной поверх­ности жидкости, m_o = 4p×10^-7Н×м^-1 — магнитная постоянная.

Известно [2], что для физической реализации гидро­статического состояния протяженного в горизонталь­ных направлениях слоя магнитной жидкости с плоской свободной поверхностью при наличии ортогонального магнитного поля необходимо, чтобы намагниченность М_о была меньше критического значения. В рассматрива­емом случае, естественно, критическая намагниченность отлична от величины, вычисленной в [1,2].

Постановка задачи об устойчивости

Считая жидкость невязкой, сформулируем в линей­ной постановке задачу об устойчивости гидростатиче­ского состояния H₀, р_о с плоской свободной поверх­ностью (1). Пусть  представляет урав­нение свободной поверхности жидкости при наличии стоячих волн малой амплитуды; через t обозначено время. Вводя потенциал малого возмущения магнитного поля  магнитные поля, индукцию и намагниченность, возмущенные за счет вызываемой волнами деформации свободной поверхности, запишем соответственно в виде

где индекс 1 относится к полю области z>h, а индекс 2 — к области z < –d.

Аналогичным образом представим также распределе­ние давления в жидкости при наличии волн Р = р₀ + р. С точностью до малых первого порядка имеем

где  — единичные векторы вдоль соответствую­щих осей координат.

В рассматриваемом случае при m = m(Н) магнитная сила  а вместе с ней и движение жидкости потенциальны. Вводя потенциал скорости  из уравнения неразрывности имеем

Из линеаризованного уравнения движения с исполь­зованием (2) легко получить линеаризованный интеграл Коши-Лагранжа, служащий для вычисления возмущения давления р,

Распределение потенциала возмущения магнитного поля описывается уравнением Лапласа. В области, за­нятой жидкостью и слоем магнетика, из уравнений маг­нитостатики с учетом (2) получаем

в то время как вне этой области

Линеаризованные кинематическое и динамическое условия на свободной поверхности жидкости с учетом (2), (4) записываются следующим образом:

Последнее слагаемое в динамическом условии (8) представляет возмущение поверхностной пондеромоторной силы за счет деформации свободной поверхности, вызываемой волнами.

На непроницаемых границах полости ставится условие обращения в нуль нормальной составляющей скорости

В рассматриваемом приближении условия непрерыв­ности потенциала магнитного поля и нормальной со­ставляющей индукции на горизонтальных поверхностях раздела магнитной и немагнитной сред имеют вид

Физический смысл имеют, естественно, лишь те реше­ния уравнений (5), (6), которые обеспечивают выполне­ние условий

Будем считать, что в начальный момент времени зада­на отличная от плоской форма свободной поверхности, а жидкость находится в состоянии покоя

С целью упрощения дальнейших выкладок целесо­образно преобразовать запись динамического условия на свободной поверхности (8). Дифференцируя (8) по времени, с учетом кинематического условия (7) и уравнения Лапласа (3) получаем

Таким образом, в линейной постановке развитие на­чального возмущения (12) описывается уравнениями Лапласа (3), (5), (6), решения которых должны удовле­творять краевым условиям (7), (9)-(11), (13).

Приближенное решение

В рассматриваемой задаче взаимное влияние друг на друга магнитного и гидродинамического полей осуще­ствляется за счет условий сопряжения искомых функций на свободной поверхности. Ее форма известна лишь при t = 0, а в последующие моменты времени подлежит определению. При этом даже в начальный момент, когда всюду известна форма границ, разделяющих намагничи­вающуюся и ненамагничивающуюся среды, вычисление возмущения магнитного поля, вызванного деформацией свободной поверхности жидкости, представляет слож­ную задачу. Принципиальная возможность получения ее решения связана с использованием численных методов.

Не ставя целью обсуждение вычислительного алгорит­ма, допустим, что имеется итерационный метод расчета искомых функций при любом t, базирующийся на после­довательном вычислении их в области

имеющих общую границу Г, представляющую собой цилиндрическую поверхность радиуса а, на которой, естественно, нормальная составляющая индукции и потенциал поля непрерывны. При вычислении в D_i первого приближения примем

Следует отметить, что эти краевые условия соответ­ствуют случаю идеальной проводимости среды в обла­сти D_e, внутрь которой за характерное время развития волн на свободной поверхности не успевает проникнуть магнитное поле, включаемое в области D_i при t = 0. Подобная схематизация широко используется в задачах магнитной гидродинамики.

В результате расчета с использованием (14) функций  в области D_i находятся значения со стороны D_i, которые затем используются в качестве краевых условий на Г при расчете

Найдя эти функции в D_e, можно вычислить значения   на Г со стороны D_e и использовать их для нахождения второй итерации в D_i. Указанный процесс далее повторяется.

В рамках предлагаемого подхода первый шаг на пути вычисления искомых функций в области D_i удается реализовать с помощью метода Фурье. Положим

После подстановки выражений (15) в уравнения Ла­пласа (3), (5), (6) и разделения переменных имеем

С учетом условий исчезновения возмущений при  из уравнений (17) находим

В результате подстановки выражений (15) в краевые условия (9), (14) имеем

Решение исходной начально-краевой задачи будем строить в виде рядов по собственным функциям дву­мерных уравнений Гельмгольца (16) подобно случаю колебаний круглой мембраны. Следует, однако, отметить, что в отличие от закрепленной по краю мембраны [6] собственные значения  задач (16), (18) выражаются через корни  уравнений — функция Бесселя первого рода

Множество корней  обозначим через Q. Каждому собственному значению (19) соответствуют две соб­ственные функции

Предполагая, что начальное возмущение свободной поверхности (12) при г = а удовлетворяет условию  разложим  в ряд по собственным функциям

где

Учитывая начальные условия (12), а также разложение (20) и вид решений уравнений (17), положим

          

 

Здесь  — произвольные константы;  — допустимые частоты стоячих волн, подлежащие определению в процессе решения задачи. Подставив выражения (21) в условия сопряжения иско­мых функций на поверхностях раздела сред (7), (10), (11), приходим к системе алгебраических уравнений относительно констант

Отсюда находим

С учетом этих равенств выражения для потенциалов (21) принимают вид

При подстановке рядов, представляющих <р и ф, в еще не использовавшееся преобразованное динамиче­ское условие (13) получаем дисперсионное соотноше­ние, служащее для вычисления попустимых частот,

          

Таким образом, при фиксации всех, кроме M₀, опреде­ляющих параметров задачи в зависимости от величины М_о, каждая из допустимых частот  является либо действительной, либо чисто мнимой величиной. В пер­вом случае плоская свободная поверхность устойчива, а во втором неустойчива. Из (22) с учетом (19) следует, что критическое значение намагниченности жидкости М_*, при превышении которого наступает неустойчи­вость, определяется формулой

Нетрудно видеть, что на счетном множестве Q корней, достаточно представительный набор которых приведен в [7], всегда имеется единственный элемент, миними­зирующий правую часть этого выражения. В случае жидкости с линейным законом намагничивания имеем  так что критическое значение внешнего магнитного поля Н_¥ определяется выражением

     

Эта формула, не претендующая, естественно, на ко­личественное определение величины критического поля, может использоваться для ее оценки.

Эксперимент

Рисунок 2.

Рисунок 3.

 

Применительно к рассматриваемой задаче с целью сопоставления на качественном уровне теоретического представления

 выражающегося первым равен­ством (21), с физически наблюдаемой при увеличении Н_¥ эволюцией формы свободной поверхности магнит­ной жидкости был проведен эксперимент.

Экспериментальная установка схематически показана на рис. 2. Цилиндрическая кювета с магнитной жид­костью 1, в которую на всю глубину жидкости соосно с кюветой была погружена тонкостенная цилиндриче­ская немагнитная вставка 2, помещалась в соленоид 3. Поверхность магнитной жидкости освещалась пучком лучей света, создаваемого источником света 4 и рас-сеивателем 5, и фотографировалась фотоаппаратом 6. Применялось осевое освещение по схеме со светодели­телем [8], отмеченным на рис. 2 цифрой 7.

В эксперименте использовалась магнитная жидкость, у которой р = 992kg/m³, a = 2.7×10^-2N/m, m_r = 1.23; радиус вставки а = 1.85×10^-2m, радиус кюветы 3.3×10^-2 m, глубина слоя жидкости d = 6×10^-3 m. При этих значениях определяющих параметров число Бонда Во = 123, а критическое поле, вычисляемое по формуле (23), составляет Н^*_¥ = 36.57kA/m, причем, как видно из рис. 3, минимизирующим элементом на множестве корней является

При построении графика на рис. 3 использованы все значения у которых

 

Рисунок 4.

Рис. 4 представляет вид сверху на поверхность жид­кости в отсутствие магнитного поля. На этом рисун­ке 1 — стенка кюветы, 2 — стенка цилиндрической вставки, 3 — капиллярный мениск, 4 — плоская часть (светлый круг) свободной поверхности. Светлое кольцо между стенками кюветы 1 и вставки 2 соответствует впадине поверхности жидкости между менисками — темные кольца вблизи стенок.

 

Рисунок 5.

На рис. 5 показана свободная поверхность при Я» = 9.31 kA/m. Цифрой 4 на ней отмечена от­носительно плоская (по сравнению с примыкающим к стенке вставки мениском) часть свободной поверхности, имеющая вид светлого кольца. Далее в направлении к центру кюветы следует вызванный магнитным полем подъем 5 свободной поверхности (темное кольцо), пе­реходящий в относительно более плоскую центральную часть 6 (светлое пятно). Таким образом, под действием магнитного поля свободная поверхность при удалении от стенки вставки приняла куполообразную форму. Следует подчеркнуть, что представленная на рис. 5 структура является итогом нелинейной стадии развития неустой­чивости.

 

Рисунок 6.

На рис. 6 показана свободная поверхность при Яоо = 11.78 kA/m. Сравнение рис. 5 и 6 показывает, что увеличение магнитного поля приводит к образованию впадины в центральной части купола, наблюдаемого при Яоо = 9.31 kA/m. На рис. 6 отмечен склон (темное кольцо) 7 и относительно более плоское дно впадины — центральное светлое пятно 8. В целом сформировавшая­ся поверхностная структура имеет вид кольцевого гофра.

 

Рисунок 7.

Дальнейшее увеличение поля приводит к образова­нию более сложных поверхностных структур, форма которых зависит от азимутального угла. В качестве примера на рис. 7 представлена свободная поверхность при Яоо = 13.77kA/m. По техническим причинам максимальное магнитное поле было ограничено этой величиной. Как и прежде, на данном рисунке светлым областям соответствуют относительно более плоские участки свободной поверхности.

 

Рисунок 8.

 

Приведенные на рис. 5,6 структуры качественно по­добны первой (рис. 8, a) и второй (рис. 8,b) модам представления (21) свободной поверхности, соответ­ствующим корням

В первом случае критическое (для данной моды) поле равно 46.75 kA/m, а во втором — 38.5 kA/m. Представленная же на рис. 7 структура демонстри­рует некоторое качественное сходство с модой, со­держащей

для которой

Линии уровня этой моды изображены на рис. 8, c, где знаком "плюс" отмечены возвышения, а знаком "минус" — впадины, разделенные между собой радиальными узловыми лини­ями.

Заключение

Из приближенного решения задачи об устойчивости первоначально плоской свободной поверхности магнит­ной жидкости, заполняющей вертикальную цилиндриче­скую полость в плоском горизонтальном слое магнетика и находящейся под действием вертикального магнитного поля, следует, что в рассматриваемой системе имеются осесимметричные неустойчивые моды. Наблюдавшиеся в проведенном эксперименте поверхностные структуры типов "купол" и "кольцевой гофр" качественно подтвер­ждают результат теоретического анализа.

 

Список литературы

[1] Cowley M.D., Rosensweig R.E. // J. Fluid Mech. 1967. Vol. 30.  4. P. 671-688.

[2] Розенцвейг Р. Феррогидродинамика. М.: Мир, 1989. 357 с.

[3] Берковский Б.М., Медведев В.Ф., Краков М.С. Магнитные идкости. М.: Химия, 1989. 239 с.

[4] Блум Э.Я., Майоров М.М., Цеберс А.О. Магнитные жидкости. Рига: Зинатне, 1989. 386 с. [5] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

[6] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

[7] Таблицы нулей функций Бесселя. Библиотека математиче­ских таблиц. Вып. 44. М.: ВЦ АН СССР, 1967. 95 с.

[8] Блейкер А. Применение фотографии в науке. М.: Мир, 1980. 247 с.