БИФУРКАЦИЯ ФОРМЫ КАПЛИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ

ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Лебедев А. В.

Институт механики сплошных сред Уральского Отделения РАН

Российская Федерация, г. Пермь, 614013, дом 1. Телефакс: 8 – (3422) – 13 – 60 – 87.

В предлагаемой работе исследуется воздействие на каплю магнитной жидкости быстро вращающегося магнитного поля. Как будет показано в дальнейшем, в этой задаче обнаруживается ряд новых, необычных эффектов. Главной особенностью задачи является наличие свободной деформируемой границы. Внешнее магнитное поле вызывает на границе дополнительный скачок давления и первоначально сферическая капля жидкости деформируется. В постоянном поле она вытягивается вдоль силовых линий с характерным гистерезисом эксцентриситета как функции напряжённости поля [1]. Такая же ситуация сохраняется и в низкочастотном вращающемся поле, при условии, что характерное время релаксации формы капли мало по сравнению с периодом вращения [2]. При низких частотах капля вращается с частотой поля, а вращающий момент появляется за счёт того, что длинная ось эллипсоидальной капли отстаёт по фазе от напряжённости поля. В рассматриваемом нами случае высокочастотного поля отличие состоит в природе механических моментов, вращающих каплю. На высоких частотах вращающий момент возникает за счёт неравновесного характера намагниченности, а частота вращения капли мала по сравнению с частотой поля.

Естественно было ожидать, что в быстровращающемся поле должны наблюдаться эффекты, подобные гистерезису формы в постоянном поле. Наши эксперименты в целом подтвердили это предположение. Сплюснутый эллипсоид вращения, хорошо аппроксимирующий форму капли в полях ниже критического, с ростом напряжённости поля переходил в трёхосный эллипсоид, сильно вытянутый в плоскости вращения поля и сплюснутый вдоль оси вращения. Этот трёхосный эллипсоид подолжал вращаться в вязкой среде с угловой скоростью порядка нескольких рад / с. Качественное отличие от случая постоянного поля состоит только в том, что в переменном магнитном поле скачкообразное изменение полуосей капли всегда сопровождается нарушением осевой симметрии. Значение магнитной восприимчивости, при которой наблюдается ветвление, также в несколько раз меньше (по сравнению с теорией для постоянного поля).

Эксперименты выполнялись на магнитной жидкости типа «магнетит в керосине, стабилизированный олеиновой кислотой». Исходная жидкость обладает статической восприимчивостью cS = 24,0 и плотностью r_m = 1,8 кг / м³. Образцы жидкости с меньшей восприимчивостью приготовлялись разбавлением исходной чистым керосином и имели восприимчивость в диапазоне от 3,9 до 19,4, а плотность от 1,2 до 1,75 кг / м³.

Для создания условий нейтральной плавучести капель использовался бром-гидрин глицерина. Эта жидкость отличается высокой плотностью (r = 1,8 кг / м³) и не растворяется в углеводородах. Благодаря указанным факторам удаётся взвешивать капли жидкости высокой концентрации. При этом свойства поверхности капли сохраняются достаточно длительное время – в течение нескольких дней. Добавлением дистиллированной воды плотность несущей жидкости подгонялась под плотность капли. Полученный раствор наливался в стеклянный цилиндрический контейнер. Для стабилизации положения капли в центре сосуда к верхней части раствора добавлялось небольшое количество воды. Через 1 – 2 дня вследствие диффузии в средней части контейнера устанавливалось распределение плотности с небольшим вертикальным градиентом. Затем в центр контейнера с помощью шприца помещалась капля исследуемой магнитной жидкости размером от 2 до 5 мм. Вращающееся магнитное поле, в отличие [3], создавалось двумя перпендикулярными парами колец Гельмгольца, питаемыми токами частотой f = 560 Гц со сдвигом фаз p / 2. Типичное время релаксации формы использовавшихся капель t_S составляло около 0,1 сек. В этих условиях частота вращения поля могла считаться большой t_Sw » 1. Неоднородность поля не превышала 1% в пределах контейнера с каплей. Круговая поляризация поля контролировалась с помощью специальной измерительной катушки. Отклонение от круговой поляризации также не превышало 1 %. Амплитуда поля плавно мнялась от 0 до 4 кА/м.

Основные эксперименты состояли в наблюдении поведения капли магнитной жидкости во вращающемся поле постоянной частоты при изменении его амплитуды. Амплитуда поля изменялась пошагово, так чтобы форма капли успевала остановиться. В отсутствие магнитного поля капля имеет форму сферы. При включении магнитного поля видимый сверху радиус капли начинает увеличиваться. Это означает, что капля приобретает форму сплюснутого эллипсоида вращения. При этом наблюдается медленное «твердотельное» вращение капли с малой угловой скоростью W. При достижении полем некотрого критического значения осесимметричеая форма капли теряет устойчивость и капля приобретает форму трёхосного эллипсоида, вытянутого в плоскости вращения, с тремя полуосями a > b > c. При дальнейшем увеличении амплитуды поля трёхосный эллипсоид переходит в плоский диск с маленькими пиками по периметру. Это напоминает неустойчивость поверхности МЖ в нормальном к ней поле, описанную Розенцвейгом [4].

Описываемый сценарий бифуркации формы зависит от величины магнитной восприимчивости жидкости. Если восприимчивость мала, c₁ £ 4, то при увеличении амплитуды поля капля всегда имеет форму сплюснутого эллипсоида вращения. Состояние трёхосного эллипсоида не возникает. Для восприимчивости жидкости в диапазоне 4 £ c₁ £ 14,3 преобразование формы капли происходит через фазу трёхосного эллипсоида, а эксцентриситет является однозначной функцией амплитуды поля. Капля трансформируется безгистерезисно. При больших значениях восприимчивости переход формы осуществляется путём бифуркации и сопровождается гистерезисом. Результаты измерения точек перехода для капель разной восприимчивости представлены на рисунке 1 в виде диаграммы в координатах «восприимчивость – число Бонда».

На рисунках 2 и 3 представлены результаты измерения относительных удлинений капли e_b и e_c в зависимости от магнитного числа Бонда B_O = G²R/s_O. Здесь жен представлены результаты теоретического расчёта этих зависимостей. Ошибка в определении B_O не превышает 7 %

На рисунках 4 и 5 показаны результаты измерения угловой скорости вращения капли, вытянутой в трёхосный эллипсоид, и капли, трансформированной в диск.

Теоретическое описание бифуркации формы капли в быстровращающемся поле проводилось в следующих предположениях:

1. Капля аппроксимируется трёхосным элипсоидом.

2. Форма капли однозначно определяется балансом магнитной энергии и поверхностных сил. Напряжения, возникающие под действием магнитного поля, описываются тензором напряжений в форме, предложенной Шлиомисом:

3. Гидродинамическая задача решается в рамках приближения Стокса.

4. Течение внутри капли во вращающейся системе координат горизонтально и имеет однородную поверхность. Поле скоростей V⁽ⁱ⁾ стационарного течения внутри капли может быть представлено в двухмерной эллиптической форме:

Параметр z характеризует интенсивность завихрённости внутреннего течения и должен определяться из решения задачи.

Библиографический список.

1. Bacri J. C., Salin D. Instability of ferrofluid magnetic drops under magnetic field // J. Phys., 1982, V.43, № 17, P. L649 – L654.

2. Лебедев А. В., Морозов К. И. Динамика капли магнитной жидкости во вращающемся магнитном поле // Письма в ЖЭТФ, 1997, Т.65, вып. 2, С. 150 – 154.

3. Dikansky Yu. I., Bedjanian M. A., Chuenkova I. Yu., Suzdalev V. N. // J. Magn. Mat. Mat., 2002, V.252, P.276 – 279.

4. Rosenszweig R. E. Ferrohydrodynamics – Cambridge: Univ. Press, 1985. – 344 p. Русский перевод: Розенцвейг Р. Е. Феррогидродинамика. – Москва, Мир, 1989. – 357 c.

Рисунок 1. Экспериментальные результаты исследования устойчивости формы капли в координатах восприимчивость – число Бонд. Закрашенные квадраты соответствуют увеличению поля, светлые – уменьшению. Сплошная линия – результаты расчётов.

Рисунок 2 и рисунок 3. Результаты измерения эксцентриситетов капли в зависимости от числа Бонда. Квадраты – результаты измерений при увеличении и уменьшении поля. Верхняя линия – результаты расчёта при линейном законе намагничивания, нижняя – с учётом реальной кривой намагничивания.

Рисунки 4 и 5. Зависимость угловой скорости вращения капли в форме трёхосного эллипсоида и в форме диска от числа Бонда. Верхние кривые – расчёты для случая линейного закона намагничивания. Нижние – с учётом реальной кривой намагничивания.